Los Polinomios

Clases de Polinomios:

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene.

Ejemplos:

Monomios	Binomios	Trinomios
3x	7x - 4	n2 + 3n + 2
25	3a + 5b	3x4 – x3 + 5x2
-9x2y3	n2 – 3n	4xy + 9xy2 – 11xy4

El polinomio 8x³ + 5x² - 3x + 7 es un polinomio de cuatro términos. *

Suma y resta de polinomios La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrán sumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma. "A partir de este momento trabajaremos ya sólo con polinomios con una sola letra (x) por considerar que son los más utilizados en la práctica " Ejemplo 9.- Para calcular la suma de los polinomios: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x ) Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está. Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor: 4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 + --- 5x3 --- x2 +2x _____________________ 4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5 Por tanto: Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos. Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados. Ejemplo 10.- Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x ) Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5 La escena siguiente presenta la suma y la resta de dos polinomios de grado máximo 3, siendo posible cambiar los coeficientes de cada uno de ellos. Téngase en cuenta que si un coeficiente es 0, el término correspondiente vale 0, luego no suma ni resta y viceversa, si "falta" un término podemos suponer que el coeficiente es 0.

Ejercicio 6.- Calcula en tu cuaderno de trabajo la suma y la resta de los dos siguientes polinomios.a) ( - x3 + 5x2 - x + 1 ) + ( 5x2 - x - 3 ) b) ( 6x2 - x + 4 ) + ( 5x3 - x - 1) La suma del caso a) es la que se presenta en la escena adjunta. Cambia después los valores de los coeficientes (se llaman c1 a c4 para el primer polinomio y c5 a c8 para el segundo) de la escena para realizar la resta del caso y la suma y resta del caso b).

Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base") Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes. En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes. En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos. Ejemplo 11.- En la práctica no suele indicarse la multiplicación como en esta imagen, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Así: Ejemplo 12.- ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5. Igualdades notables Se denominan así a algunas operaciones con polinomios de especial interés ya que aparecerán frecuentemente en los cálculos. Las más usuales son: Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2 Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego: (a + b)2 = (a + b ) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 " El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo " De modo similar: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( igual que antes pero cambiando el signo central). "En cualquier caso se debe tener en cuenta que el primer término "a" también puede ser negativo y por tanto cambiar el signo central". "En general se puede considerar siempre como una suma y para cada término asignarle el signo que le preceda (ver ejemplo 13 - b) Ejemplo 13.- a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy + 9y2 b) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9 Suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferencia de ellos mismos: (a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2 Siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados" . Otras igualdades importantes pero menos utilizadas pueden son: Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 Cuadrado de un trinomio: (a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc Ejercicio 7.- Calcula los siguientes productos notables: a) (x + 2y)2 b) (2x2 - y)2 "El resultado del apartado a) puedes verlo en la escena. Cambia los coeficientes en la parte inferior de la escena y los exponentes de las letras en la parte superior para comprobar el b) y otros resultados que desees". Ejercicio 8.- Calcula los siguientes productos notables: a) (2a + 3b) (2a - 3b) b) (-3a + b2) (-3a - b2) "El resultado del apartado a) puedes verlo en la siguiente escena. Cambia los coeficientes en la parte inferior de la escena y los exponentes de las letras en la parte superior para comprobar el b) y otros resultados que desees" División de polinomios La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente: Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado: - Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente - Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante - Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial - Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado. Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. En la imagen siguiente se puede ver una división completa: Ejemplo 14.- Como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2. BIBLIOGRAFIAS http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.htm http://piermiko07.blogspot.com/ INTEGRANTES: -Acosta Polo -Alayo Nolasco -Becerra Urbina -Reyna Mendoza -Valdelomar Alvarez

 RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN O RELACIÓN DE DOS NÚMEROS

Es la comparación de dos cantidades y pueden ser:

a)      Razón aritmética (r): Cuando la comparación se realiza por diferencia.

12 – 3 = 9

9 es razón aritmética de 12 y 3

r es el valor de la razón aritmética de a y b

a es el antecedente

b es el consecuente

              b)  Razón Geométrica (r): Cuando la comparación se realiza mediante el cociente.

 12/3=4

                                      4 es la razón geométrica de 12 y 3

r es el valor de la razón geométrica de a y b

a es el antecedente

                                      b es el consecuente

 c)      Razón armónica (r): Es la razón aritmética de las inversas de los dos números

1/3 - 1/2 = 1/6

                                      1/6 es la razón armónica de 2 y 3

r es el valor de la razón armónica de a y b

a = antecedente

b = consecuente

  PROPORCIÓN

   Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Pueden ser:

        a)      Proporción Aritmética:

·           ·    Discretas: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta diferencial de los otros tres.

a y d : extremos

b  y c : medios

 ·         Continuas: Cuando los términos medios ó los extremos son iguales

 Donde: b es la media diferencial de a y c, su valor es:

 a y c se denominan terceras diferenciales

 a)      Proporción Geométrica

·         ·      Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada término es la cuarta proporcional de los otros tres.

a y d: extremos

b y c: medios

 ·         Continua: Cuando los términos medios o los extremos son iguales

 Donde:         b es media proporcional de a y c, su valor es: 

a y c : Terceras proporcionales

 a)      Proporción Armónica

·         ·      Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta armónica de los otros tres.

  Donde:                           a y d son los términos extremos

 b y c son los términos medios

 ·         Continuas: Cuando los medios o los extremos son iguales

Donde: b en la media armónica de a y c, su valor es: 

             a y c se denominan terceras armónicas

RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES O EQUIVALENTES

Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual valor. Pueden ser discretas o continuas.

·          ·  DISCRETA: Cuando todos los términos son diferentes

·         ·  CONTINUA:

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS

Podemos señalar entre las más importantes

1ª Propiedad

de la serie (1)

2ª Propiedad

Multiplicando todas las razones(1)

Aplicando esta propiedad al conjunto de razones continuas, obtenemos:

3ª Propiedad

Las razones (1) se puede escribir como:

y aplicando la 1ª propiedad

4ª Propiedad

De la expresión (1) se pueden deducir varias relaciones como las siguientes:

OTRAS PROPIEDADES:

BIBLIOGRAFÍA:

http://es.scribd.com/doc/19736200/RAZONES-Y-PROPORCIONES

https://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

http://todosloscomo.com/2011/01/24/razones-proporciones-matematicas-ejercicios/

INTEGRANTES:

·         MORELIA ACOSTA POLO

·         MARDELI ALAYO NOLASCO

·         CÉSAR BECERRA URBINA

·         YERSON MORENO CARRASCO

·         STEFANIE REYNA MENDOZA

·         KEVÍN VALDELOMAR ÁLVAREZ

·         IVONE ZAVALETA CABRERA